Методы разрешения сингулярности при расчетах методом конечных элементов

Начнем с понятия сингулярности.

Наиболее понятный пример сингулярности, который часто используется в интернете, – это если уколоть швеллер иголкой, то в месте контакта возникает огромное напряжение, но разрушение не происходит. Если сила F у нас постоянная, а площадь стремится к 0, тогда напряжение стремится к бесконечности. Математическая сингулярность - точка, в которой функция стремится к бесконечности.

Теперь перейдем к практическому анализу. В области высоких напряжений главное и первое что требуется сделать, - это определить сингулярность это или реальное поведение модели. Если это сингулярность, то напряжение в области или в точке растет бесконечно, а если это не сингулярность, то будет конечное значение. С сингулярностью мы столкнемся в нескольких случаях: если это будут острые кромки, при жестком закреплении, особенно точек и кромок, и в задачах по механике разрушений (тогда чаще всего рассматривается вершина трещины и идет разговор о коэффициенте интенсивности напряжений (КИН)).

Далее рассмотрим что делать с сингулярностью. Главным образом сингулярность встречается в острых кромках. Однако, лучше их избегать, поскольку везде существует радиус, который может стремиться к нулю. В реальности абсолютно острого угла не бывает. Но в объемных моделях не всегда возможно все скруглить и, порой, нет в этом необходимости, для этого рассчитывается общая модель, потом делается частное решение для интересующего нас места (данный участок проще и быстрее привести к более полному соответствию). Так же, как упоминалось ранее, это жесткие закрепления, тут при возможности следует их избегать и рассматривать возможность уменьшать их влияния.

Рассмотрим два случая:

1) Если мы уверены, что сингулярность никак не отразится на результате, ее можно игнорировать.

2) Другой вариант – если рассматривать точки рядом с этой областью, тогда оценка напряженного состояния будет идти по ним.  

При требовании учитывать сингулярность, нужно рассматривать интеграл с производной в данной области, можно рассматривать нелинейность материала, тогда уже будем работать с упруго-пластической деформацией.